Hat der Mietvertrag auch ohne Unterschrift des Vermieters Gültigkeit?

Hallo Leute. Ich bin etwas verunsichert. Vor drei Wochen haben wir eine Wohnung angesehen, die wir sehr gerne mieten würden. Der Eigentümer will uns auch nehmen, hat uns sogar drei Tage später schon den Vertrag zugeschickt. Den haben wir auch direkt unterschrieben und wieder an ihn zurückgeschickt. Das ist jetzt ungefähr zwei Wochen her und wir haben immer noch nichts bekommen. Eine Nachbarin sagte uns, dass sie ihren Mietvertrag nur alleine unterzeichnet hätte und der Eigentümer der Meinung sei, dass die Unterschrift des Mieters alleine auch schon ausreicht für die Gültigkeit. Ist das wirklich so? Aber selbst dann hätte er uns ja ein Exemplar wieder zurückschicken müssen...