Krankschreibung: Selbstständig in DE, Angestellter in CH

Hallo.

Ein in DE selbstständiger Dienstleister (im Folgenden mit „SD“ abgekürzt) mit Wohnort in DE besitzt ebenfalls einen Angestelltenvertrag in der gleichen Branche in einer schweizerischen Firma.
Diese CH-Firma gehört nicht dem SD und der SD hat auch keine Anteile.

Aufgrund von gewissen Faktoren erleidet der SD eine psychische Erkrankung, die zu einer längeren Krankschreibung führen könnte.
Da der SD bei der privaten Krankenversicherung eine Selbstbeteiligung bei ärztlicher Versorgung hat,
entscheidet er sich für einen Spezialisten in einem östlichen EU-Land, um seine eigenen Behandlungskosten so gering wie möglich zu halten.
Der ausländische Spezialist diagnostiziert tatsächlich eine schwere psychische Erkrankung und schreibt den SD gleich für mehrere Wochen arbeitsunfähig.

Die privaten (deutschen) Krankenversicherungen gewähren dem SD entsprechend dem Versicherungsschutz ein Krankentagegeld in bestimmter Höhe,
welches den Umsatzausfall kompensieren soll.
Die schweizerische Firma weiß mittlerweile von den Erkrankungen und auch von der Krankschreibung,
die im Ausland festgestellt wurde, verzichtet aber auf eine zusätzliche Krankschreibung in der Schweiz,
obwohl diese wahrscheinlich auch gar nicht nötig wäre.
Ganz im Gegenteil; die schweizerische Firma bietet sogar dem SD an, an Tagen, an dem es dem SD subjektiv gut geht,
weiterhin vom Home-Office aus gewisse Dienstleistungen auszuführen.
Unabhängig von der Arbeitsleistung des SD zahlt die CH-Firma das Gehalt in voller Höhe weiter.

Fragen:
Ist es unstreitig, dass eine im EU-Ausland ausgestellte Arbeitsunfähigkeit ebenfalls Rechtswirkung in DE entfaltet?
Haben die deutschen Versicherer Möglichkeiten, über das Angestelltenverhältnis in der CH –wie auch immer- Kenntnis zu erlangen? (Datenschutz?)
Was ist, wenn die deutschen Versicherer, die ja Krankentagegeld an den SD zahlen, nicht nur von der zusätzlichen Beschäftigung erfahren sollten,
sondern evtl. auch darüber, dass der SD noch nebenbei tatsächlich auch „in der Schweiz arbeitet“?
Ist der SD verpflichtet, die deutschen Versicherer über sein Arbeitsverhältnis in der CH zu unterrichten,
und das unabhängig davon, ob er tatsächlich (noch) arbeitet oder entsprechend seiner Krankschreibung nichts tut?